Question

已知函数，，且在点

处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；  

（3）设为两曲线，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为.若取，试判断当直线与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.

Answer

（1） ；（2） ；（3）2个

【解析】

试题分析：（1）由函数，在点处的切线方程为.所以对函数求导，根据斜率为1以及过点（1,0）两个条件即可求出结论.

（2）由函数，对函数求导，并令可解得两个根，由于函数在区间内有且仅有一个极值点，的根在内有且仅有一个根.所以通过分类讨论即可求的取值范围.

（3）两曲线在交点处的切线分别为.若取，当直线与轴围成等腰三角形时.通过求导求出两函数的切线的斜率，即可得到这两斜率不可能是相等，所以依题意可得到两切线倾斜角有两倍的关系，再通过解方程和函数的单调性的判断即可得到结论.

（1），∴，又，

∴． 3分

（2）；

∴

由得，

∴或． 5分

∵，当且仅当或时，函数在区间内有且仅有一个极值点． 6分

若，即，当时；当时，函数有极大值点，

若，即时，当时；当时，函数有极大值点，

综上，的取值范围是． 8分

（3）当时，设两切线的倾斜角分别为，

则，

∵， ∴均为锐角， 9分

当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则；当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则．

由得，，

得，即，

此方程有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形． 11分

由得， ，

得，即，

设，，

当时，，∴在单调递增，则在单调递

增，由于，且，所以，则，

即方程在有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形．

因此，当时，有两处符合题意，所以直线能与轴围成等腰三角形时，值的个数

有2个． 14分

考点：1.导数的几何意义.2.函数的极值.3.函数导数的应用.4.分析问题解决问题的能力.5.等价变换的数学思想.