Question

（2015秋•黄冈校级期末）已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M，过焦点且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=12．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）y2=4x；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标，写出直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出写出，即可求此抛物线方程；

（Ⅱ）过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，则==sin∠PMA，故当PA和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．

【解析】
（Ⅰ）因焦点F（，0），所以直线l的方程为y=（x﹣），

与抛物线y2=2px联立，消去y得4x2﹣20px+p2=0①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=5p，

∴|AB|=x1+x2+p=6p=12，∴p=2，

∴抛物线方程为y2=4x．

（Ⅱ）由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1

过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，

则==sin∠PMA，∠PMA为锐角．

故当∠PMA最小时，最小，

故当PM和抛物线相切时，最小．

设切点P（a，2），则PM的斜率为=（2）′=，

求得a=1，可得P（1，2），∴|PA|=2|PM|=2sin∠PMA=

考点：抛物线的简单性质．