Question

（2015•湖南）已知抛物线C₁：x²=4y的焦点F也是椭圆C₂：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C₁与C₂的公共弦的长为2，过点F的直线l与C₁相交于A，B两点，与C₂相交于C，D两点，且与同向．

（Ⅰ）求C₂的方程；

（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．

Answer

（Ⅰ）+=1；（Ⅱ）±．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．

【解析】
（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），

∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，

又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，

∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），

∴，

又∵a2﹣b2=1，

∴a2=9，b2=8，

∴C2的方程为+=1；

（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

∵与同向，且|AC|=|BD|，

∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，

设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，

由，可得x2﹣4kx﹣4=0，

由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，

由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，

又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，

∴16（k2+1）=+，

化简得16（k2+1）=，

∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，

即直线l的斜率为±．