Question

（2015秋•邵阳校级期末）已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）．

（1）若f′（﹣1）=0，求函数y=f（x）在[﹣，1]上的极大值和极小值；

（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．

Answer

（1）极大值为2，极小值为；（2）（﹣∞，0]∪[，+∞）．

【解析】

试题分析：（1）先对函数进行求导，f′（﹣1）=0，即可求出a的值，再利用导数求出函数的单调区间，继而得到函数y=f（x）在[﹣，1]上的极大值和极小值；

（2）由于函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，得到f′（x）=0有实数解，再由△≥0，即可求出a的取值范围．

【解析】
（1）∵f′（﹣1）=0，∴3﹣2a+1=0，即a=2，

∴f′（x）=3x2+4x+1=3（x+）（x+1），

由f′（x）＞0，得x＜﹣1或x＞﹣，

由f′（x）＜0，得：﹣1＜x＜﹣，

因此，函数f（x）的单调增区间为（﹣，﹣1），（﹣，1）；单调减区间为（﹣1，﹣），

f（x）在x=﹣1取得极大值为f（﹣1）=2；f（x）在x=﹣取得极小值为f（﹣）=，

（2）∵f（x）=x3+ax2+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+1，

∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f′（x）=0有实数解，

∴△=4a2﹣12≥0，∴a＞或a＜﹣，

因此，所求实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[，+∞）．

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．