Question

（2015秋•邵阳校级期末）已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．

（Ⅰ）求实数b、c的值；

（Ⅱ）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若当x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间和极值．

Answer

（Ⅰ）b=0，c=1；（Ⅱ）a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（Ⅲ）函数y=g（x）的极大值点为﹣1，极大值为g（﹣1）=2，极小值点为，极小值为g（﹣）=

【解析】

试题分析：（I）利用偶函数的定义可得b=0，利用函数过点（2，5），可得c=1；

（II）先求函数g（x）的导函数g′（x），再将曲线y=g（x）有斜率为0的切线问题转化为g′（0）=0有实数解问题，最后利用一元二次方程根的性质求得a的范围即可；

（III）先利用已知极值点计算a的值，进而解不等式g′（x）＞0得函数的单调递增区间，g′（x）＜0得函数的单调递减区间，再由极值定义计算函数的极大值和极小值即可

【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（﹣x）=f（x）即有

（﹣x）2+b（﹣x）+c=x2+bx+c 解得b=0

又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1

∴b=0，c=1

（Ⅱ）∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a．从而g′（x）=3x2+2ax+1，

∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．

此时有△=4a2﹣12≥0解得 a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）

所以实数a的取值范围：a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）

（Ⅲ）∵x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，故有g′（﹣1）=0即3﹣2a+1=0，解得a=2，

∴g（x）=x3+2x2+x+2．

又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=﹣1，x2=﹣

当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数

当x∈（﹣1，﹣）时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣1，﹣）上为减函数

当x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣，+∞）上为增函数

函数y=g（x）的极大值点为﹣1，极大值为g（﹣1）=2，极小值点为，极小值为g（﹣）=

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．