Question

（2011•咸阳三模）已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n是数列{a_n}的前n项和，且4S_n=a_n²+2a_n﹣3．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer

（1）an=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）（2n﹣1）•2n+2

【解析】

试题分析：（1）由题意知，解得a1=3，由此能够推出数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以an=3+2（n﹣1）=2n+1．

（2）由题意知Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）•2n，2Tn=3×22+5×23+（2n﹣1）•2n+（2n+1）2n+1，二者相减可得到Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

【解析】
（1）当n=1时，，解出a1=3，

又4Sn=an2+2an﹣3①

当n≥2时4sn﹣1=an﹣12+2an﹣1﹣3②

①﹣②4an=an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1），即an2﹣an﹣12﹣2（an+an﹣1）=0，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵an+an﹣1＞0∴an﹣an﹣1=2（n≥2），

∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

（2）Tn=3×21+5×22+…+（2n+1）•2n③

又2Tn=3×22+5×23+（2n﹣1）•2n+（2n+1）2n+1④

④﹣③Tn=﹣3×21﹣2（22+23++2n）+（2n+1）2n+1﹣6+8﹣2•2n﹣1+（2n+1）•2n+1=（2n﹣1）•2n+2

考点：数列递推式；数列的求和．