Question

（2015秋•鞍山校级期末）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=．

（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（1）连结OC，推导出AO⊥BD，AO⊥OC，由此能证明AO⊥平面BCD．

（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h，由VO﹣ACD=VA﹣OCD，能求出点O到平面ACD的距离．

证明：（1）连结OC，

∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，

∴AO⊥BD．

∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，，

∴．

在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．

∵BD∩OC=0，∴AO⊥平面BCD．

【解析】
（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h．

∵VO﹣ACD=VA﹣OCD，∴．

在△ACD中，AD=CD=2，

．

而，，∴．

∴点O到平面ACD的距离为．

考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．