Question

（2015秋•鞍山校级期末）已知函数f（x）=，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）．

（Ⅰ）求实数a的取值集合A；

（Ⅱ）若a∈A，且函数g（x）=1g[ax²+（a+3）x+4]的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）A=（﹣∞，2）∪（3，5）；（Ⅱ）0≤a≤1．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）不为单调函数，即﹣1+a＞a2﹣7a+14，综合讨论结果可得答案；

（Ⅱ）由题意可得z=ax2+（a+3）x+4取到一切的正数，讨论，a=0，a＞0，判别式不小于0，解不等式，再与A求交集，即可得到所求范围．

【解析】
（Ⅰ）当﹣＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：

存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，

当﹣≥1，即a≥2时，

若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，

则﹣1+a＞a2﹣7a+14，

解得：3＜a＜5，

综上所述：实数a的取值集合是A=（﹣∞，2）∪（3，5）；

（Ⅱ）由题意可得z=ax2+（a+3）x+4取到一切的正数，

当a=0时，z=3x+4取得一切的正数；

当a＞0，判别式△≥0，即为（a+3）2﹣16a≥0，

解得a≥9或0＜a≤1．

综上可得，a的范围是，

即为0≤a≤1．

考点：分段函数的应用；函数的值域．