Question

（2015秋•鞍山校级期末）已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（x，y）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=2|PA|．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程C；

（Ⅱ）求线段PQ长的最小值；

（Ⅲ）若以⊙P为圆心所做的⊙P与⊙O有公共点，试求P半径取最小值时的P点坐标．

Answer

（Ⅰ）3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0；（Ⅱ）2（﹣）；（Ⅲ）P（，）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=4PA2，即 x2+y2﹣1=4（x﹣2）2+4（y﹣1）2，化简可得动点P的轨迹方程C；

（Ⅱ）求出PA长的最小值，即可求线段PQ长的最小值；

（Ⅲ）P半径取最小值时，OC与圆C相交的交点为所求．

【解析】
（Ⅰ）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．

由已知|PQ|=2|PA|．可得PQ2=4PA2，即x2+y2﹣1=4（x﹣2）2+4（y﹣1）2．

化简可得3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0．

（2）3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0，可化为（x﹣）2+（y﹣）2=，圆心C（，），半径为

∵|CA|==，

∴|PA|min=﹣，

∴线段PQ长的最小值为2（﹣）；

（Ⅲ）P半径取最小值时，OC与圆C相交的交点为所求，

直线OC的方程为y=x，代入3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0，可得15x2﹣80x+84=0，

∴x=，

∴P半径取最小值时，P（，）．

考点：直线与圆的位置关系；轨迹方程．