Question

（2015秋•大连校级期末）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥面PBC．

（1）证明：EF∥BC．

（2）证明：AB⊥平面PFE．

（3）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．

Answer

（1）、（2）见解析；（3）BC=3或BC=．

【解析】

试题分析：（1）由EF∥面PBC可得出EF∥BC；

（2）由PC=PD=CD=4可知△PDC是等边三角形，故PE⊥AC，由平面PAC⊥平面ABC可得PE⊥平面ABC，故PE⊥AB，由EF∥BC，BC⊥AB可得AB⊥EF，从而AB⊥平面PEF；

（3）设BC=x，用x表示出四边形DFBC的面积，根据体积列出方程解出x．

【解析】
（1）证明：∵EF∥面PBC．EF⊂面ABC，面PBC∩面ABC=BC，

∴EF∥BC．

（2）∵由CD=DE+EC=4，PD=PC=4，∴△PDC是等边三角形，

∴PE⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩面ABC=AC，PE⊂平面PAC，

∴PE⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，

∴PE⊥AB，

∵∠ABC=，EF∥BC．∴AB⊥EF，

又∵PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，PE∩EF=E，

∴AB⊥平面PEF．

（3）设BC=x，则AB=，∴=，

∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC，∴．

∵AD=AE，，∴S四边形DFBC=，

由（2）可知PE⊥平面ABC，且PE=，

∴V=，解得x=3或者，

∴BC=3或BC=．

考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．