Question

（2012•西城区一模）在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．

Answer

（Ⅰ）A=；（Ⅱ）AB=2．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sinB，代入已知的等式，根据sinB不为0，可得出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；

（Ⅱ）由A的度数求出cosA的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出AB•AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，求出将cosA，BC及AB•AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB•AC的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．

【解析】
（Ⅰ）∵A+B+C=π，

∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，

∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，

∵B∈（0，π），∴sinB＞0，

∴cosA=，

∵A∈（0，π），

∴A=；

（Ⅱ）∵A=，∴cosA=，

又BC=2，S△ABC=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，

∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=AB2+AC2﹣AB•AC，

∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，

∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，

联立①②解得：AB=AC=2，

则AB=2．

考点：余弦定理．