Question

（2015秋•宁城县期末）已知动点P到定点F（p，0）和到直线x=﹣p（p＞0）的距离相等．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）经过点F的直线l交（Ⅰ）中轨迹C于A、B两点，点D在抛物线的准线上，且BD∥x轴．证明直线AD经过原点O．

Answer

（Ⅰ）y2=4px；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意，利用抛物线定义得到动点P的轨迹C是以F为焦点，以直线x=﹣p（p＞0）为准线的抛物线，求出动点P的轨迹C的方程即可；

（Ⅱ）设经过点F的直线l的方程可设为x=my+p，代入抛物线解析式，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出y1y2，由BD与x轴平行，且在抛物线准线上，设出D坐标，进而表示出与，利用平面向量运算法则判断出与共线，且有公共点，即可得证．

（Ⅰ）【解析】
∵动点P到定点F（p，0）和到直线x=﹣p（p＞0）的距离相等，

∴由抛物线定义知，动点P的轨迹C是以F为焦点，以直线x=﹣p（p＞0）为准线的抛物线，

则轨迹C的方程是y2=4px；

（Ⅱ）证明：经过点F的直线l的方程可设为x=my+p，

代入抛物线方程得：y2﹣4pmy﹣4p2=0，

若记A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1，y2是该方程的两个根，

∴y1y2=﹣4p2，

∵BD∥x轴，且点D在准线x=﹣p上，

∴点D的坐标为（﹣p，y2），

∴=（x1，y1），=（﹣p，y2），

∵x1y2+py1=+py1=+py1=﹣py1+py1=0，

∴向量，共线，且，有共同的起点O，

则直线AC经过原点O．

考点：抛物线的简单性质．