（2014•抚州一模）已知函数，m∈R．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在...

（2014•抚州一模）已知函数，m∈R．

（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（2）若f（x）在区间（﹣2，3）上是减函数，求m的取值范围．

（1）15x﹣3y﹣25=0．（2）m≥3或m≤﹣2．【解析】试题分析：（Ⅰ）把m=1代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（2）已知f（x）在区间（﹣2，3）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（﹣2，3）上恒成立，然后用导数求f（x）的单调递减区间，再对m进行分类讨论建立关于m的不等关系解之即可得到m的取值范围．【解析】（1）当m=1时，，又f'（x）=x2+2x﹣3，所以f'（2）=5．又，所以所求切线方程为，即15x﹣3y﹣25=0．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为15x﹣3y﹣25=0．（2）因为f'（x）=x2+2mx﹣3m2，令f'（x）=0，得x=﹣3m或x=m．当m=0时，f'（x）=x2≥0恒成立，不符合题意．当m＞0时，f（x）的单调递减区间是（﹣3m，m），若f（x）在区间（﹣2，3）上是减函数，则解得m≥3．当m＜0时，f（x）的单调递减区间是（m，﹣3m），若f（x）在区间（﹣2，3）上是减函数，则，解得m≤﹣2．综上所述，实数m的取值范围是m≥3或m≤﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

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考点分析：

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空气质量等级	1级优	2级良	3级轻度污染	4级中度污染	5级重度污染	6级严重污染