Question

在中，点的坐标分别是,点是的重心，轴上一点满足，且．

（Ⅰ）求的顶点的轨迹的方程；

（Ⅱ）直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（I）根据重心的性质得点坐标，从而得到点坐标，进而由两点间的距离公式求得轨迹方程；（Ⅱ）设直线，联立椭圆方程，结合韦达定理得到点坐标，又由点在椭圆上，得到的关系式，从而根据得的取值范围．

试题解析：（I）设,

因为点是的重心，故点坐标为,

由得，

即

∴的顶点的轨迹的的方程是

（Ⅱ）设直线与的两交点为,

联立：消去得：

（1）

且

因为四边形为平行四边形，所以线段的中点即为线段的中点，所以点的坐标为，整理得

由点在椭圆上，所以，整理得（2）

将（2）代入（1）得，，由（2）得，或，

所以的取值范围为．

考点：1、轨迹方程；2、直线与椭圆的位置关系．

【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程；第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程；第三步：求解判别式：计算一元二次方程根；第四步：写出根与系数的关系；第五步：根据题设条件求解问题中结论．