Question

设函数（）．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性．

Answer

（Ⅰ）极大值为，极小值为；（Ⅱ）当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数研究函数的单调性，从而求得极值；（Ⅱ）求导后，分、、三种情况讨论函数的单调性．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为

当时，，，

当时，，单调递增；当及时，，单调递减．

所以极大值，极小值

（Ⅱ），

当，即时，，在定义域上是减函数；

当，即时，令，得或；

令，得

当，即时，由，得；

由，得或，

综上，当时，在上是减函数；

当时，在和单调递减，在上单调递增；

当时，在和单调递减，在上单调递增．

考点：1、导数与极值的关系；2、利用导数研究函数的单调性．

【方法点睛】对于可导函数，在某个区间上，若，则在这个区间上单调递增；若，则在这个区间上单调递减；若恒成立，则在这个区间上为常数函数；若的符号不确定，则不是单调函数．