Question

平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点，分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据离心率与垂直于长轴的弦长列出方程，求得的值，从而得到椭圆方程；（II）方法一：（ⅰ）分直线的斜率是否为0讨论，当时，设，直线的方程为，联立椭圆方程，结合判别式求得的范围，从而由使问题得证；（ii）由＝结合（ⅰ）用韦达定理写出表达式，利用基本不等式求出最大值；方法二：（i）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，联立椭圆方程，由判别式求得的取值范围，从而由使问题得证；（ⅱ）由弦长公式求得，用点到直线的距离求得边上的高线长，从而得到的表达式，进而用换元法求解．

试题解析：（Ⅰ）, 又,

所以．

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率为时，显然，满足题意

当的斜率不为时，设，方程为代入椭圆方程

整理得,则，所以

，

，即

（ⅱ）

当且仅当，即．（此时适合△＞0的条件）取得等号．

三角形面积的最大值是

方法二（ⅰ）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为：，

设，联立，整理得,

则，所以

，

，即

（ⅱ）点到直线的距离为，

=．

令，则，

当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即

三角形面积的最大值是

考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线方程；4、基本不等式．

【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可．