Question

四棱锥平面，，．

（Ⅰ）若为的中点，求证：；

（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的大小．（若非特殊角，求出所成角余弦即可）

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连结，利用余弦定理求得，得到，然后结合已知条件可证明得平面，从而得到平面平面，再利用面面垂直的性质得出平面，进而命题得证；（Ⅱ）取中点，可证得为矩形，从而以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与的法向量，利用空间向量夹角公式求解．

试题解析：证明 （Ⅰ）连结，中，，

由余弦定理，解得，

所以为直角三角形，．

因为，所以．

又因为平面，所以，因为

所以平面，平面，所以，平面平面．

又因为，为中点，所以．

因为平面平面，

所以平面，平面，

所以

（Ⅱ），可得

取中点，可证得为矩形

以为坐标原点分别以所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，，

平面，所以面是平面的法向量，

设平面的法向量为，

所以

，令，可得

解得 ，所以

所以平面与平面所成二面角为

解法2本题也可以采用作出两平面的交线，再作出二面角平面角的方法．

评分标准，作角证角4分，求角2分．

考点：1、余弦定理；2、空间垂直关系的判定与性质；3、二面角；4、空间向量的应用．