Question

已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足．

（Ⅰ）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；

（Ⅱ）一条纵截距为的直线与曲线交于，两点，若以直径的圆恰过原点，求出直线方程；

（Ⅲ）直线与曲线交于、两点，，试问：当变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在，理由见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由向量的坐标去算及可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）由题意知，直线斜率必存在，设直线为，联立椭圆方程，结合为直径求出的值，从而求得直线方程； （Ⅲ）联立直线与椭圆方程，以及三角形的面积公式得到，从而结合条件求出的值，进而作出判断．

试题解析：（Ⅰ）因为，即

所以，所以

又因为，所以，即，即

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）直线斜率必存在，且纵截距为，设直线为

联立直线和椭圆方程，得:

由，得

设，则 （1）

以直径的圆恰过原点，所以，，即，

也即，即

将（1）式代入，得，即

解得，满足（*）式，所以

所以直线的方程为

（Ⅲ）由方程组，得

设，则

所以

因为直线过点，

所以的面积

，则不成立

不存在直线满足题意

考点：1、平面向量的坐标运算；2、直线与椭圆的位置关系；3、轨迹方程；4、直线方程．

【方法点睛】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法．要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌．