Question

已知函数（为实常数）．

（Ⅰ）若的单调区间；

（Ⅱ）若，求函数在上的最小值及相应的值；

（Ⅲ）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）当，时，最小值为1；当，时，最小值为； （Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）代入的值，求得，然后由的符号得到单调区间；（Ⅱ）分与两种情况讨论的单调性，求出各段的最小值；（Ⅲ）根据题意将问题转化为，设，然后通过求导讨论函数的单调性求得实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）时，，

定义域为，

在上，，当时，；当时，

所以，函数的单调增区间为；单调减区间为

（Ⅱ）因为，所以，，，

（Ⅰ）若，在上非负（仅当时，），

故函数在上是增函数，此时

（Ⅱ）若，，

当时，，

当时，，此时是减函数；

当时，，此时是增函数，

故

（Ⅲ），

不等式，即可化为．

因为， 所以且等号不能同时取，

所以，即，因而（）

令（），又，

当时，，，

从而（仅当时取等号），所以在上为增函数，

故的最小值为，所以实数的取值范围是

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、导数与函数最值的关系；3、不等式恒成立．