Question

（2007•陕西）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．

由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．

【解析】
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（1）当AB⊥x轴时，．

（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．

由已知，得．

把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

∴，．

∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=

=

=

=

=．

当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，

综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．