Question

（2015秋•陕西校级月考）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上一点，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为（  ）

A．（0，1）   B．    C．    D．（1，3）

Answer

B

【解析】

试题分析：由∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于∠APC为钝角等价于•＜0，用关于λ的字母表示•＜0，根据向量数量积的坐标运算即可．

【解析】
由题设可知，以、、为单位正交基底，

建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，

则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）

由=（1，1，﹣1），得=λ=（λ，λ，﹣λ），

所以=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），

=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）

因为∠APC不是平角，

所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜，＞=＜0，

则等价于•＜0

即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得＜λ＜1

因此，λ的取值范围是（，1）．

故选B．

考点：异面直线及其所成的角．