Question

（2015秋•宝山区期末）给出以下命题：

（1）函数f（x）=与函数g（x）=|x|是同一个函数；

（2）函数f（x）=a^x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，1）；

（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（x）=有负数根，则实数m的取值范围是（1，+∞）；

（4）若f（x）=为奇函数，则f（f（﹣2））=﹣7；

（5）设集合M={m|函数f（x）=x²﹣mx+2m的零点为整数，m∈R}，则M的所有元素之和为15．

其中所有正确命题的序号为（  ）

A．（1）（2）（3）    B．（1）（3）（5）    C．（2）（4）（5）    D．（1）（3）（4）

Answer

D

【解析】

试题分析：（1）根据同一函数的定义和性质进行判断．

（2）根据指数函数过定点的性质进行判断．

（3）根据指数函数的图象和性质先求出函数的解析式，结合指数函数的取值范围进行求解即可．

（4）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解．

（5）根据根与系数之间的关系进行判断即可．

【解析】
（1）函数f（x）==|x|，函数g（x）=|x|，则两个函数是同一个函数；正确．

（2）∵f（0）=a0+1=1+1=2，∴函数f（x）=ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，2）；故（2）错误，

（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，

则设f（x）=ax，由f（1）=4得a=4，即f（x）=4x，

若关于x的方程f（x）=有负数根，

则当x＜0时，0＜f（x）＜1，

由0＜＜1，即，即，

得，

即m＞1，

则实数m的取值范围（1，+∞）；故（3）正确，

（4）若f（x）=为奇函数，

则f（0）=0，即1+t=0，即t=﹣1，即当x≥0时，f（x）=2x﹣1．

则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣1）=﹣3，

则f（f（﹣2））=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（23﹣1）=﹣7；故（4）正确，

（5）∵函数f（x）=x2﹣mx+2m的零点为整数，

∴判别式△=m2﹣8m≥0，解得m≥8或m≤0，

x1+x2=m，x1x2=2m，

则此时无法确定m的取值，即M的所有元素之和为15不正确，故（6）错误．

故所有正确命题的序号为（1）（3）（4）．

故答案为：（1）（3）（4）．

考点：命题的真假判断与应用．