Question

（2015秋•宝山区期末）设函数f（x）=log₂（x﹣a）（a∈R）．

（1）当a=2时，解方程f（x）﹣f（x+1）=﹣1；

（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1，当a=1时，试在该坐标系中作出函数y=|f（x）|的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．

Answer

（1）方程的解集为{3}．（2）函数的单调递减区间为为（1，2），函数的单调递增区间为[2，+∞）．

【解析】

试题分析：（1）当a=2，根据对数方程的性质解方程即可得到结论．

（2）根据对数函数的性质，结合对数函数的性质进行求解即可．

【解析】
（1）当a=2时，f（x）=log2（x﹣2），

则方程f（x）﹣f（x+1）=﹣1等价为log2（x﹣2）﹣log2（x﹣1）=﹣1，

即1+log2（x﹣2）=log2（x﹣1），

即log22（x﹣2）=log2（x﹣1），

则2（x﹣2）=x﹣1，即x=3，此时log2（3﹣2）﹣log2（3﹣1）=0﹣1=﹣1，方程成立．

即方程的解集为{3}．

（2）当a=1时，f（x）=log2（x﹣1），

则y=|log2（x﹣1）|=，

则对应的图形为，

则函数的定义域为（1，+∞），

函数的值域为[0，+∞），

函数为非奇非偶函数，

函数的单调递减区间为为（1，2），函数的单调递增区间为[2，+∞）．

考点：对数函数的图象与性质．