Question

（2015秋•宝山区期末）设函数f（x）=|f₁（x）﹣f₂（x）|，其中幂函数f₁（x）的图象过点（2，），且函数f₂（x）=ax+b（a，b∈R）．

（1）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；

（2）设μ为常数，a为关于x的偶函数y=log₄[（）^x+μ•2^x]（x∈R）的最小值，函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b），求函数u（b）的最小值；

（3）若对于任意x∈[0，1]，均有|f₂（x）|≤1，求代数式（a+1）（b+1）的取值范围．

Answer

（1）函数的单调增区间为：[1，+∞），单调减区间：[0，1）．（2）．（3）代数式（a+1）（b+1）的取值范围：[0，]．

【解析】

试题分析：（1）求出幂函数的解析式以及一次函数的解析式，化简函数f（x），然后求解单调区间．

（2）利用偶函数求出μ，求出最小值a，求出函数的最大值的表达式，然后再求解最大值的表达式的最小值．

（3）利用已知条件，转化求出b的范围，然后通过基本不等式以及函数的最值，通过分类讨论求解即可．

【解析】
（1）幂函数f1（x）的图象过点（2，），可得，a=．f1（x）=，函数f2（x）=1．

函数f（x）=|﹣1|=，函数的单调增区间为：[1，+∞），单调减区间：[0，1）．

（2）y=log4[（）x+μ•2x]是偶函数，可得log4[（）x+μ•2x]=log4[（）﹣x+μ•2﹣x]，

可得μ=1．

∴y=log4[（）x+2x]，（）x+2x≥2，当且仅当x=0，函数取得最小值a=．f1（x）=，函数f2（x）=+b．函数f（x）=|f1（x）﹣f2（x）|=|﹣b|，x∈[0，4]，

令h（x）=﹣b，x∈[0，4]，h′（x）=，令=0，解得x=1，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0

函数是增函数，当x∈（1，4）时，h′（x）＜0，函数是减函数．

h（x）的极大值为：h（1）=，最小值为h（0）=h（4）=﹣b，

函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b）=，

函数u（b）的最小值：．

（3）对于任意x∈[0，1]，均有|f2（x）|≤1，即对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，

当a＞0时，显然b≥1不成立，

①当1＞b≥0时，对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，0≤a≤1，

可得0＜a+b≤1，则（a+1）（b+1）≤≤，此时a=b=．

（a+1）（b+1）∈[1，]．

②b∈[﹣，0），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，

转化为：0≤a+b≤1，则（a+1）（b+1）∈[，2），a=1，b=0时（a+1）（b+1）取最大值2．a=，b=﹣

，（a+1）（b+1）取得最小值．

③b∈[﹣1，﹣），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，

转化为：x=0，|b|≤1恒成立．﹣1＜a+b≤1，

（a+1）＞0，（b+1）＞0，则（a+1）（b+1）≤，≤≤，

则（a+1）（b+1）∈[，]，

④当b＜﹣1时，对于任意x∈[0，1]，|ax+b|≤1，不恒成立．

当a=0时，可得|b|≤1，（a+1）（b+1）∈[0，2]．

当a＜0时，如果|b|＞1，对于任意x∈[0，1]，不恒有|ax+b|≤1，

则|b|≤1，当0≤b≤1时，a∈[﹣1，0）对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，

a+1∈[0，1），b+1∈[1，2]．（a+1）（b+1）∈[0，2）．

﹣1＜b＜0，可得|a+b|≤1．可得﹣1≤a+b≤1，a+1∈[0，1），b+1∈（0，1）．

（a+1）（b+1）∈（0，1）．

综上：代数式（a+1）（b+1）的取值范围：[0，]．

考点：利用导数研究函数的单调性；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数与方程的综合运用；导数在最大值、最小值问题中的应用．