Question

（2015秋•广安期末）已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=18

（1）求该抛物线的方程

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．

Answer

（1）y2=8x；（2）λ=0，或λ=2．

【解析】

试题分析：（1）设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x1+x2．再利用弦长公式|AB|=x1+x2+p，即可得到p，则抛物线方程可得．

（2）由p=8，x2﹣10x+16=0求得A，B坐标，再求得OC的坐标，代入抛物线方程即可解得λ．

【解析】
（1）抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣．

∴直线AB的方程为y=2（x﹣），

代入y2=2px可得4x2﹣5px+p2=0

∴xA+xB=p，

由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=p=18

∴p=8．

∴该抛物线的方程为y2=8x；

（2）由p=8，x2﹣10x+16=0，∴x1=2，x2=8，

∴y1=﹣4，y2=8，从而A（2，﹣4），B（8，8）．

设=（x3，y3）=（2，﹣4）+λ（8，8）=（8λ+2，8λ﹣4）

又[8λ﹣4）]2=16（8λ+2），解得：λ=0，或λ=2．

考点：抛物线的简单性质．