Question

（2015秋•广安期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，原点到过点A（﹣a，0），B（0，b）的直线的距离是．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线l与两定直线l₁：x﹣2y=0和l₂：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）+=1．（2）当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．

【解析】

试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；

（2）讨论直线l的斜率是否存在，当直线l的斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，运用判别式为0，再联立直线方程组，求得P，Q的坐标，求得PQ的长，求出OPQ的面积，化简整理，可得最小值．

【解析】
（1）因为，a2﹣b2=c2，所以a=2b．

因为原点到直线AB：的距离，

解得a=4，b=2．

故所求椭圆C的方程为+=1．

（2）当直线l的斜率不存在时，直线l为x=4或x=﹣4，都有．

当直线l的斜率存在时，设直线，

由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0．

因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，

所以△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4．①

又由可得；

同理可得．

由原点O到直线PQ的距离为和，

可得．②

将①代入②得，．

当时，；

当时，．

因，则0＜1﹣4k2≤1，，

所以，

当且仅当k=0时取等号．所以当k=0时，S△OPQ的最小值为8．

综上可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．