Question

（2015秋•昆明校级期末）已知定义在区间（﹣1，1）上的函数f（x）=是奇函数，且f（）=，

（1）确定f（x）的解析式；

（2）判断f（x）的单调性并用定义证明；

（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer

（1）f（x）=；（2）函数f（x）是增函数；（3）（0，）．

【解析】

试题分析：（1）根据条件建立方程关系即可确定f（x）的解析式；

（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性并用定义证明；

（3）利用函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=b=0，

则f（x）=，

∵f（）=，

∴f（）==，解得a=1，

即f（x）=；

（2）f（x）为增函数；

设﹣1＜x1＜x2＜1，

则f（x1）﹣f（x2）==，

∵﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

即函数f（x）是增函数．

（3）∵f（x）为奇函数，

∴不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

等价为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），

则等价为，即，解得0＜t＜

即原不等式的解集为（0，）．

考点：其他不等式的解法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．