Question

（2015秋•昆明校级期末）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且x＜0时，f（x）＜0，f（﹣1）=﹣2

（1）求证：f（x）为奇函数；

（2）试问f（x）在x∈[﹣4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．

（3）若f（k•3^x）+f（3^x﹣9^x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）当x=﹣4时，f（x）min=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣4f（1）=﹣8；当x=4时，f（x）max=f（4）=4f（1）=8．（3）k＜2﹣1．

【解析】

试题分析：（1）令x=y=0，再令y=﹣x，分别代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），化简可得；

（2）由单调性的定义可证明函数f（x）为R上的增函数，从而求f（x）在x∈[﹣4，4]上的最值；

（3）（法一）由（2）知，f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0可化为k•3x＜﹣3x+9x+2，即32x﹣（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立．令t=3x＞0，问题等价于t2﹣（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．令令g（t）=t2﹣（1+k）t+2，讨论二次函数的最值，从而求k；

（法二）由分离系数法，化k•3x＜﹣3x+9x+2为k＜3x+﹣1，令u=3x+﹣1，利用基本不等式求最值，从而求k．

【解析】
（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①

令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．

令y=﹣x，代入①式，得 f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，

则有0=f（x）+f（﹣x）．

即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，

则f（x）是奇函数．

（2）【解析】
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，从而f（x1﹣x2）＜0，

又f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f[x1+（﹣x2）]=f（x1﹣x2）．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴函数f（x）为R上的增函数，

∴当x∈[﹣4，4]时，f（x）必为增函数．

又由f（﹣1）=﹣2，得﹣f（1）=﹣2，∴f（1）=2

∴当x=﹣4时，f（x）min=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣4f（1）=﹣8；

当x=4时，f（x）max=f（4）=4f（1）=8．

（3）（法一）【解析】
由（2）f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数．

f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

即：k•3x＜﹣3x+9x+2，

即：32x﹣（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3x＞0，问题等价于t2﹣（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．

令g（t）=t2﹣（1+k）t+2，

当，即k≤﹣1时，

g（t）在（0，+∞）上单调递增，

f（0）=2＞0，符合题意；

当＞0，即k＞﹣1时，

，

∴﹣1，

综上所述，当k＜﹣1+2时，

f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立．

（法二）（分离系数）由k•3x＜﹣3x+9x+2得，

k＜3x+﹣1，

则u=3x+﹣1≥2﹣1，

（当且仅当3x=，即3x=时，等号成立）

故k＜2﹣1．

考点：抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．