Question

（2015秋•绍兴校级期末）已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（  ）

A．（0，）            B．

C．           D．

Answer

B

【解析】

试题分析：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得 b＜1；③若点M在点A的左侧，求得b＞2﹣，综合起来可得结论．

【解析】
由题意可得，三角形ABC的面积为S=•AB•OC=4，

由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），

由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分可得点M在射线OA上．

设直线和BC的交点为 N，则由，可得点N的坐标为（，），

①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则﹣=﹣2，且=1，解得a=，b=，

②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于2，即•MB•yN=2，

即•（2+）•=2，解得a=＞0，故b＜1，

③若点M在点A的左侧，则﹣＜﹣2，b＞a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，

则由 求得点P的坐标为（，），

此时，NP=

=

==，

此时，点C（0，2）到直线y=ax+b的距离等于，

由题意可得，三角形CPN的面积等于2，即••=2，

化简可得（2﹣b）2=2|a2﹣1|．

由于此时 0＜b＜a＜1，

∴（2﹣b）2=2|a2﹣1|=2﹣2a2 ．

两边开方可得2﹣b=＜，则2﹣b＜，即b＞2﹣，

综合以上可得，b的取值范围是．

故选：B

考点：直线的一般式方程．