Question

（2015秋•绍兴校级期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD₁|=的点P的个数为      ；若满足|PB|+|PD₁|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是               ．

Answer

12个，（2，2）．

【解析】

试题分析：（1）由题意可得点P是以2c=2为焦距，以a1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．

（2）利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长小于，求出m的范围．

【解析】
∵正方体的棱长为2，

∴BD1==2，

∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=，

∴点P是以2c=2为焦距，以a=为长半轴，以为短半轴的椭圆，

∵P在正方体的棱上，

∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，

结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．

∴满足|PB|+|PD1|=的点P的个数为12个．

（2）∵满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，

∴|PB|+|PD1|=m＞|BD1|=2，∴m＞2，

∵正方体的棱长为2，∴正方体的面的对角线的长为2，

∵点P的个数为6，∴b＜，

∵短半轴长b=，∴，解得m＜2．

∴m的取值范围是（2，2）．

故答案为：12，（2，2）．

考点：点、线、面间的距离计算．