Question

（2015•射阳县校级模拟）已知圆M：x²+（y﹣4）²=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．

（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；

（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，即可点P的坐标；

（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，即可得出结论；

（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值．

【解析】
（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），

因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，

所以MP=，解得

所以

（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，

其方程为：

即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0

由，

解得或，所以圆过定点

（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=

即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①

圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②

②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分

点M到直线AB的距离…13分

相交弦长即：

当时，AB有最小值

考点：直线和圆的方程的应用．