Question

（2015•安庆校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1，设R（x₀，y₀）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．

（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；

（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k₁，k₂，求证：2k₁k₂+1=0；

（3）试问OP²+OQ²是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer

（1）．（2）见解析；（3）OP2+OQ2=36．

【解析】

试题分析：（1）通过直线OP，OQ互相垂直，以及点的坐标适合椭圆方程，求出圆的圆心，然后求圆R的方程；

（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程=的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点R（x0，y0）在椭圆C上，证明2k1k2+1=0．

（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：

法一：（i）当直线ξ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立，推出，，

由，求出OP2+OQ2是定值．

（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．

法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过2k1k2+1=0，推出，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，联立，推出OP2+OQ2=36．即可．

【解析】
（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径，

因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，

所以，即，①

又点R在椭圆C上，所以，②

联立①②，解得…（3分）

所以所求圆R的方程为．

（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，

所以，

化简得=0

同理，

所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的两个不相等的实数根，

因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，

所以，即2k1k2+1=0．

（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，

理由如下：

法一：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立解得

所以，同理，得，

由，

所以

=

===36

（ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，

综上：OP2+OQ2=36．

法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

因为2k1k2+1=0，所以，即，

因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以，

即，

所以，整理得，

所以，

所以OP2+OQ2=36．

（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，

综上：OP2+OQ2=36．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．