Question

（2015秋•温州校级月考）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．

（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，1），都有AC⊥BE；

（Ⅱ）若直线DE与平面ACE所成角大小为60°，求λ的值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，由三垂线定理能证明AC⊥BE．

（II）推导出SD⊥CD，CD⊥AD，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则∠CFD是二面角C﹣AE﹣D 的平面角，由此利用直线DE与平面ACE所成角大小为60°，能求出λ．

【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，由底面是正方形可得AC⊥BD，

∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得AC⊥BE．

【解析】
（II）∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD．

又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，

又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SAD，

过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，

∴∠CFD是二面角C﹣AE﹣D 的平面角，

∵直线DE与平面ACE所成角大小为60°，∴∠CFD=60°，

在Rt△ADE中，∵AD=a，DE=λa，AE=a，

于是，DF==，

在Rt△CDF中，由cot60°=，

解得．

考点：直线与平面所成的角．