Question

（2015秋•温州校级月考）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2AO=2，AB=AD．

（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ），（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（I）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设可得AO2+CO2=AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD．

（II）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．

（III）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，，可求S△ACD，由AO=1，可求S△CDE，由此能求出点E到平面ACD的距离．

【解析】
（I）证明：连结OC，∵BO=DO，AB=AD，

∴AO⊥BD．

∵BO=DO，BC=CD，

∴CO⊥BD．

在△AOC中，由已知可得．

而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．

∵BD∩OC=O，

∴AO⊥平面BCD．

（II）【解析】
取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，

在△OME中，，

∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，

∴，

∴，

（III）【解析】
设点E到平面ACD的距离为h．

在△ACD中，，

∴．

而，

∴．

∴点E到平面ACD的距离为．

考点：直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．