Question

（2015•岳阳模拟）设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a²y²+ay，则正实数a的最小值是（  ）

A．    B．    C．2    D．4

Answer

A

【解析】

试题分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．

【解析】
根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，

又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R，

∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，

要想f（f（x））=2a2y2+ay，在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，

必有f（f（x））＞1 （因为2a2y2+ay＞0），

所以：f（x）＞2，

解得：x＞4，

当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，

∴2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0，

所以有：（2ay﹣1）（ay+1）＞0，

解得：y＞或者y＜﹣（舍去），

∴≤2，

∴a，

故选：A

考点：分段函数的应用．