Question

（2015秋•重庆校级期末）f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊂D（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．

①f（x）=3﹣不可能是k型函数；

②若函数y=﹣x²+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；

③设函数f（x）=|3^x﹣1|是2型函数，则m+n=1；

④若函数y=（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为

正确的序号是      ．

Answer

②③④

【解析】

试题分析：根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．

【解析】
①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣=1，f（4）=3﹣=2，

∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是型函数，∴①错误；

②y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，∴②正确；

③设函数f（x）=|3x﹣1|是2型函数，则当定义域为[m，n]时，函数值域为[2m，2n]，

若n≤0，则函数f（x）=|3x﹣1|=1﹣3x，为减函数，

则，即，即2﹣（3m+3n）=2（m+n），

若m+n=1，则2﹣（3m+3n）=2，即3m+3n=0不成立，

若m≥0，则函数f（x）=|3x﹣1|=3x﹣1为增函数，

则，则（3m+3n）﹣2=2（m+n），

若m+n=1，则（3m+3n）﹣2=2，即3m+3n=4，

当m=0，n=1时，等式成立，则③正确，

④，y=（a≠0）是1型函数，即（a2+a）x﹣1=a2x2，∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，

∴方程的两根之差x1﹣x2==≤，即n﹣m的最大值为，∴④正确；

故答案为：②③④

考点：命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．