Question

（2015秋•重庆校级期末）已知f（x）=x为偶函数（t∈z），且在x∈（0，+∞）单调递增．

（1）求f（x）的表达式；

（2）若函数g（x）=log_a[a﹣x]在区间[2，4]上单调递减函数（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．

Answer

（1）f（x）的表达式为f（x）=x4；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据函数的奇偶性和单调性的性质，即可求出t的值，从而求f（x）的解析式；

（2）利于换元法，结合复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．

【解析】
（1）∵在x∈（0，+∞）单调递增，

∴﹣t2+2t+3＞0，

即t2﹣2t﹣3＜0，得﹣1＜t＜3，

∵t∈z，

∴t=0，1，2，

若t=0，则f（x）=x3为奇函数，不满足条件．

若t=1，则f（x）=x4为偶函数，满足条件．

若t=2，则f（x）=x3为奇函数，不满足条件．

故f（x）的表达式为f（x）=x4；

（2）∵f（x）=x4，

∴g（x）=loga[a﹣x]=loga（ax2﹣x）

设t=ax2﹣x，则y=logat，

若g（x）=loga[af（x）﹣x]（a＞0，且 a≠1﹚在区间[2，4]上是单调递减函数，

则t=ax2﹣x和y=logat的单调性相反，

若a＞1，则t=ax2﹣x在区间[2，4]上是单调递减函数，则对称轴x=，即a，此时不满足条件．

若0＜a＜1，则t=ax2﹣x在区间[2，4]上是单调递增函数，则对称轴x=，且当x=2时，t=4a﹣2＞0，

解得，即．

考点：复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质．