Question

（2015秋•重庆校级期末）函数f（x）=cos²（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）•sin（ωx+φ+）﹣（ω＞0，0＜φ＜）同时满足下列两个条件：

①f（x）图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形

②（，0）是f（x）的一个对称中心、

（1）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的单调递减区间；

（2）令g（x）=f²（x﹣）+f（x﹣）+m，若g（x）在x∈[，]时有零点，求此时m的取值范围．

Answer

（1）函数f（x）的单调递减区间为：[0，]∪[，2]．（2）m∈[﹣，﹣]．

【解析】

试题分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2ωx+2φ+），令2ωx+2φ+=0，可得函数的一个最大值点O的坐标，令2ωx+2φ+=﹣，可得函数的一个最大值点O的左相邻的对称点A的坐标，

令2ωx+2φ+=，可得函数的一个最大值点O的右相邻的对称点B的坐标，由|AB|2=2|OB|2，结合范围ω＞0，解得．由cos（+2φ+）=0，结合范围0＜φ＜，可得φ=，可得函数解析式，由x∈[0，2]时，可得πx+∈[，]，利用余弦函数的图象可得单调递减区间．

（2）由（1）及配方法可得g（x）=+m﹣（sinπx+）2，由题意，m=（sinπx+）2﹣在x∈[，]时有解，利用正弦函数的有界性即可求解．

【解析】
（1）∵f（x）=cos2（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）•sin（ωx+φ+）﹣

=﹣sin（2ωx+2φ）﹣﹣cos（2ωx+2φ）﹣

=[cos（2ωx+2φ）﹣sin（2ωx+2φ）]

=cos（2ωx+2φ+），

∴函数周期T=，

∵令2ωx+2φ+=0，可得函数的一个最大值点O的坐标为：（﹣，），

令2ωx+2φ+=﹣，可得函数的一个最大值点O的左相邻的对称点A的坐标为：（﹣，0），

令2ωx+2φ+=，可得函数的一个最大值点O的右相邻的对称点B的坐标为：（，0），

∴由题意可得：|AB|2=2|OB|2，即得：（）2=2[（+）2+（﹣）2]，解得ω2=，

∵ω＞0，解得：．

∴f（x）=cos（πx+2φ+），

∵（，0）是f（x）的一个对称中心，即：cos（+2φ+）=0，

∴+2φ+=kπ+，k∈Z，解得：φ=﹣，k∈Z，

∴由0＜φ＜，可得：φ=．

∴f（x）=cos（πx+），

∵x∈[0，2]时，πx+∈[，]，

∴当利用余弦函数的图象可得，当πx+∈[π]，πx+∈[2π，]时单调递减，

即函数f（x）的单调递减区间为：[0，]∪[，2]．

（2）∵由（1）可得：f（x﹣）=cosπx，

f（x﹣）=﹣sinπx．

∴g（x）=f2（x﹣）+f（x﹣）+m=cos2πx﹣sinπx+m=+m﹣（sinπx+）2，

∵g（x）在x∈[，]时有零点，即方程：+m﹣（sinπx+）2=0在x∈[，]时有解，

∴m=（sinπx+）2﹣在x∈[，]时有解，

∵x∈[，]，sinπx∈[﹣1，]，sinπx+∈[﹣，]，（sinπx+）2∈[0，]，

∴m∈[﹣，﹣]．

考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．