Question

（2015秋•重庆校级期末）已知二次函数f（x）=x²﹣16x+q+3．

（1）若函数在区间[﹣1，1]上最大值除以最小值为﹣2，求实数q的值；

（2）问是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且区间D的长度为12﹣t（此区间[a，b]的长度为b﹣a）

Answer

（1）q=；（2）所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．

【解析】

试题分析：（1）先求出函数的对称轴，得到函数f（x）的单调性，求出其最大值和最小值，得到关于q的方程，解出即可；

（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12﹣t求出t的值，验证范围后即可得到答案．

【解析】
（1）∵二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的对称轴为x=8，

∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，

∴f（x）max=f（﹣1）=20+q，f（x）min=f（1）=﹣12+q，

由题意得：=﹣2，解得：q=；

（2）当 时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，

即[q﹣61，t2﹣16t+q+3]．

∴t2﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t2﹣16t+64=12﹣t．

∴t2﹣15t+52=0，∴t=．

经检验不合题意，舍去．

当 时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，

即[q﹣61，q﹣57]．

∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t．

∴t=8

经检验t=8不合题意，舍去．

当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，

即[t2﹣16t+q+3，q﹣57]

∴q﹣57﹣（t2﹣16t+q+3）=﹣t2+16t﹣60=12﹣t

∴t2﹣17t+72=0，∴t=8或t=9．

经检验t=8或t=9满足题意，

所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．

考点：二次函数的性质．