Question

（2015秋•重庆校级期末）已知函数f（x）的定义域为0，1]，且f（x）的图象连续不间断．若函数f（x）满足：对于给定的m （m∈R且0＜m＜1），存在x₀∈[0，1﹣m]，使得f（x₀）=f（x₀+m），则称f（x）具有性质P（m）．

（1）已知函数f（x）=，若f（x）具有性质P（m），求m最大值；

（2）若函数f（x）满足f（0）=f（1），求证：对任意k∈N^*且k≥2，函数f（x）具有性质P（）．

Answer

（1）m的最大值为；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）m的最大值为．分类进行证明，当m=时，函数f（x）具有性质P（）；假设存在＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1﹣m＜，证明不存在x0∈（0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m）即可；

（2）任取k∈N*且k≥2，设g（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，]，利用叠加法可得g（0）+g（）+…+g（）+…+g（）=f（1）﹣f（0）=0，分类讨论：当g（0）、g（）、…、g（）中有一个为0时，函数f（x）具有性质P（）；当g（0）、g（）、…、g（）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，进而可证函数f（x）具有性质P（）．

【解析】
（1）m的最大值为．

首先当m=时，取x0=，则f（x0）=f（）=1，f（x0+m）=f（）=f（1）=1

所以函数f（x）具有性质P（）

假设存在＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1﹣m＜．

当x0=0时，x0+m∈，f（x0）=1，f（x0+m）＞1，f（x0）≠f（x0+m）；

当x0∈（0，1﹣m]时，x0+m∈（，1]，f（x0）＜1，f（x0+m）≥1，f（x0）≠f（x0+m）；

所以不存在x0∈（0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m），

所以，m的最大值为．

（2）证明：任取k∈N*且k≥2

设g（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，]，则有g（0）=f（）﹣f（0）

g（）=f（）﹣f（）

…

g（）=f（）﹣f（）

…

g（）=f（1）﹣f（）

以上各式相加得：g（0）+g（）+…+g（）+…+g（）=f（1）﹣f（0）=0

当g（0）、g（）、…、g（）中有一个为0时，不妨设为g（）=0，i∈{0，1，…，k﹣1}，

即g（）=f（+）﹣f（）=0，则函数f（x）具有性质P（）；

当g（0）、g（）、…、g（）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，

不妨设g（）＞0，g（）＜0，其中i≠j，i，j∈{0，1，…，k﹣1}，

由于g（x）是连续的，所以当j＞i时，至少存在一个（当j＜i时，至少存在一个）

使得g（x0）=0，

即g（x0）=f（）﹣f（x0）=0

所以，函数f（x）具有性质P（）

考点：分段函数的应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．