Question

（2012•东至县一模）在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=

（Ⅰ）若△ABC的面积等于；

（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）a=2，b=2；（Ⅱ）S=．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由C的度数求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosC的值代入得到一个关于a与b的关系式，再由sinC的值及三角形的面积等于，利用面积公式列出a与b的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a与b的值；

（Ⅱ）由三角形的内角和定理得到C=π﹣（A+B），进而利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosA为0，得到A和B的度数，进而根据直角三角形的性质求出a与b的值；若cosA不为0，等式两边除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得到b=2a，与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立，求出a与b的值，综上，由求出的a与b的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

【解析】
（Ⅰ）∵c=2，C=60°，

由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，

根据三角形的面积S=，可得ab=4，

联立方程组，

解得a=2，b=2；

（Ⅱ）由题意

sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，

即sinBcosA=2sinAcosA，

；

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，

由正弦定理得b=2a，

联立方程组

解得a=．

所以△ABC的面积S=．

考点：余弦定理；正弦定理．