Question

（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过B₁作直线交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求△PB₂Q的面积．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求△PB2Q的面积．

【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）

∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即

∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴

在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=

∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20

∴椭圆标准方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2

代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴，

∵，

∴=

∵PB2⊥QB2，∴

∴，∴m=±2

当m=±2时，①可化为9y2±8y﹣16﹣0，

∴|y1﹣y2|==

∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×=．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．