Question

（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）

已知曲线C₁的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer

（Ⅰ）ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，（Ⅱ）（，），（2，）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；

（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．

【解析】
（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），

得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，

即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．

将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．

ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；

（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，

由，解得或．

∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．

考点：参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．