Question

（2014•长春一模）选做题：几何证明选讲

如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．

（1）求证：E是AB的中点；

（2）求线段BF的长．

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到，即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．

（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．

（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，

因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，

所以，即∠CDO=∠BCE，

故Rt△CDO≌Rt△BCE，

所以．

所以E是AB的中点．

（2）【解析】
连接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB

∴△FEB∽△BEC，

得，

∵ABCD是边长为a的正方形，

所以．

考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定；圆周角定理．