Question

（2014•和平区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．

（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；

（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）﹣．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立坐标系，证明=0，=0，即可证明DE⊥平面PBC；

（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，

∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，

以点A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA=AB=BC=2AD=2，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），

∴=（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，2，﹣2），

∴=0，=0，

∴DE⊥PB，DE⊥PC，

∵PB∩PC=P，

∴DE⊥平面PBC；

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量=（0，2，0）．

设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则

∵=（1，0，﹣2），=（2，2，﹣2），

∴，

∴取=（2，﹣1，1），

∴cos＜，＞==﹣．

考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．