Question

（2015•丹东二模）平面直角坐标系xOy中，经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点的直线x﹣y﹣=0与C相交于M，N两点，P为MN的中点，且OP斜率是﹣．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线l分别与椭圆C和圆D：x²+y²=r²（b＜r＜a）相切于点A，B，求|AB|的最大值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值是1．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设出M，N的坐标，由MN所在直线斜率为1，P为MN的中点，且OP斜率是﹣及M，N都在椭圆上列式得到a，b的关系，再由焦点在直线x﹣y﹣=0上及隐含条件得a，b的另一等式，联立方程组即可求得a，b的值，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）设A，B分别为直线l与椭圆和圆的切点，再设出切点A（x0，y0），联立直线方程和椭圆方程，求出切点A的坐标，由直线和圆相切得到，结合直线和椭圆联立所得方程的判别式等于0，把k，m用含有r的代数式表示，再由|AB|2=|OA|2﹣r2，最后化为含有r的函数式，利用基本不等式求得最值．

【解析】
（Ⅰ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则

，，，，

由此可得，即a2=4b2，

又由题意知，C的右焦点是，故a2﹣b2=3，

因此a2=4，b2=1，

椭圆C的方程是；

（Ⅱ）设A，B分别为直线l与椭圆和圆的切点，A（x0，y0），

直线l的方程为：y=kx+m，代入，得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

由判别式△=0，得m2=1+4k2 ①，

，．

直线l与x2+y2=r2相切，，

即m2=r2（1+k2），再由①得，，

﹣r2=，

∵，当r=（1，2）时取等号，∴，

因此当r=（1，2）时，|AB|的最大值是1．

考点：椭圆的简单性质．