Question

（2015秋•钦州校级期末）已知正项数列{a_n}、{b_n}中，a₁=1，b₁=2，a_n，b_n，a_n+1成等比数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等差数列，

（1）证明是等差数列，并求{a_n}的通项公式；

（2）令，前n项和为S_n，求使S_n＜2016的最大自然数n．

Answer

（1）见解析；（2）使Sn＜2016的最大自然数n为2015．

【解析】

试题分析：（1）由已知，2an+1=bn+bn+1．求出前四项后猜想．bn=n（n+1），再用数学归纳法证明，从而=n得到是首项为1，公差为1的等差数列，．

（2）由==1+（），利用裂项求出法能求出使Sn＜2016的最大自然数n．

证明：（1）∵正项数列{an}、{bn}中，

a1=1，b1=2，an，bn，an+1成等比数列，bn，an+1，bn+1成等差数列，

∴，2an+1=bn+bn+1．

∴a2=4，b2=2×4﹣2=6，

=9，b3=2×9﹣6=12，

=16，b4=2×16﹣12=20，

由此猜想．bn=n（n+1），

下面利用数学归纳法证明：

①n=1时，，b1=1×2成立．

②假设n=k时，成立，即，bk=k（k+1），

当n=k+1时，=（k+1）2，bk+1=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），也成立，

∴．bn=n（n+1），

∴=n，是首项为1，公差为1的等差数列，

．

（2）∵==1+=1+（），

∴前n项和Sn=n+=n+1﹣．

∵Sn＜2016，∴＜2016，∴n﹣，

∴使Sn＜2016的最大自然数n为2015．

考点：数列的求和；等差数列的通项公式．