Question

（2015•山西四模）分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F₁、F₂的动直线l₁、l₂相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄，且满足k₁+k₂=k₃+k₄，已知当l₁与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）．（2）存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．

（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．

【解析】
（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，

即k3=﹣k4，

∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，

解得a=，b=，

∴椭圆E的方程为．

（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），

当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），

当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由，

得，

∴，，

===，

同理k3+k4=，

∵k1+k2=k3+k4，

∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，

由题意知m1≠m2，

∴m1m2+2=0，

设P（x，y），则，

即，x≠±1，

由当直线l1或l2斜率不存在时，

P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，

∴点P（x，y）点在椭圆上，

∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．