Question

（2016•贵阳一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．

（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）在直线AC上存在点，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．

【解析】

试题分析：（1）推导出PA⊥平面ABC，从而BC⊥PA，又BC⊥CA，从而BC⊥平面PAC，由此能证明平面PBC⊥平面PAC．

（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出在直线AC上存在点，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．

证明：（1）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC．

∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC．

∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．

∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．

∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．…6分

【解析】
（2）由已知及（1）所证可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，

∵PA=1，AB=2，BC=．

∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz，

则C（0，0，0），B（0，，0），P（），

，

设=（x，y，z）是平面PBC的法向量，

则，则取x=1，得=（1，0，﹣），

设直线AC上的点D满足，则，

∴，

∵直线BD与平面PBC所成角为30°，∴，

解得，

∴在直线AC上存在点，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．

考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．