Question

（2013•浙江二模）已知函数f（x）=（其中a为常数）．

（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃．证明：x₁+x₃＞．

Answer

（Ⅰ）单调减区间为（0，1），；增区间为；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导数，利用导数不等式求单调区间．

（Ⅱ）利用导数结合函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，构造函数，利用单调性去判断．

【解析】
（Ⅰ）

令f'（x）=0可得．列表如下：

x

（0，1）

f'（x）

﹣

﹣

0

+

f（x）

减

减

极小值

增

单调减区间为（0，1），；增区间为．

（Ⅱ）由题，

对于函数，有

∴函数h（x）在上单调递减，在上单调递增

∵函数f（x）有3个极值点x1＜x2＜x3，

从而，所以，

当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a﹣1＜0，

∴函数f（x）的递增区间有（x1，a）和（x3，+∞），递减区间有（0，x1），（a，1），（1，x3），

此时，函数f（x）有3个极值点，且x2=a；

∴当0＜a＜1时，x1，x3是函数的两个零点，

即有，消去a有2x1lnx1﹣x1=2x3lnx3﹣x3

令g（x）=2xlnx﹣x，g'（x）=2lnx+1有零点，且

∴函数g（x）=2xlnx﹣x在上递减，在上递增

要证明：⇔⇔

因为g（x1）=g（x3），

所以即证

构造函数，则

只需要证明单调递减即可．而，，所F'（x）在上单调递增，

所以．

∴当0＜a＜1时，．

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．